Александр Чернов начинал карьеру профессионального баскетболиста, выступая за ташкентский клуб «Университет», играл в составе клуба «Будивельник» в чемпионате Украины. В середине 90-х годов вернулся в Россию, выступал за иркутский «Шахтер», затем казанский УНИКС.
В 2005 году завершил игровую карьеру в новосибирском «Локомотиве», в этом же клубе дебютировал в качестве тренера. Работал вторым тренером в «Локомотиве» (Ростов), затем в «Локомотиве» (Краснодар) главным тренером молодежной команды. С 2011 по 2014 год был главным тренером молодежной и юношеской сборных России по баскетболу. В 2014—2015 являлся главным тренером баскетбольного клуба «Алматинский легион» из Казахстана, а в минувшем сезоне входил в тренерский штаб БК «Иркут».